\documentclass[12pt, titlepage]{article}

\usepackage[UTF8]{ctex}
\usepackage{url}
\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\usepackage{listings}
\usepackage{booktabs, siunitx}
\usepackage{makecell}
\usepackage{bm}
\usepackage{halloweenmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\newcommand{\tabincell}[2]{\begin{tabular}{@{}#1@{}}#2\end{tabular}}


\author{eleve11}
\title{最优化问题}
\pagestyle{fancy}

\begin{document}
\maketitle

\newpage
\section{介绍}
优化问题出现在大多数学科，如工程，物理，数学，经济学，行政，商业，社会科学，甚至政治。优化问题在电气，机械，土木，化学和建筑工程等各个工程领域都比比皆是。典型的应用领域是器件，电路和系统的建模，表征和设计;工具，仪器和设备的设计;建筑物和建筑物的设计;过程控制;近似理论，曲线拟合，方程组解;预测，生产调度，质量控制;维护和修理;库存控制，会计，预算等。最近的一些创新几乎完全依赖于优化理论，例如神经网络和自适应系统。大多数现实问题都有几种解决方案，偶尔也可能有无数种解决方案。假设当前的问题允许多个解决方案，可以通过根据某些性能标准找到问题的最佳解决方案来实现优化。如果问题只允许一个解决方案，即只接受一组唯一的参数值，则无法应用优化。常用的优化方法有：
\begin{enumerate}
  \item 分析方法(Analytical methods)：基于差分计算的经典技术
  \item 图形方法(Graphical methods)：使用图形方法绘制要最大化或最小化的函数(变量的数目不超过2个)
  \item 实验方法(Experimental methods)：实验方法可以很直观的对优化进行表现
  \item 数值方法(Numerical methods)：解决无法通过分析解决的高度复杂的优化问题
\end{enumerate}
包含数值优化方法理论和实践的学科已经被称为\textbf{数学规划}，数学规划的分支有：
\begin{enumerate}
  \item[-] 线性规划
  \item[-] 整数规划
  \item[-] 二次规划
  \item[-] 非线性规划
  \item[-] 动态规划
\end{enumerate}

\section{基本的最优化问题}
问题总是接踵而至，在进行优化之前，问题需要被数学化的表示
\begin{displaymath}
  F = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)
\end{displaymath}
$F$是一个标量，表示实际中需要的到的结果，$x_i$是影响结果的参数。在优化问题时，优化的问题是调整变量$x_i$以最小化$F$(也被称为目标或成本函数)，数学表述为：
\begin{displaymath}
  minimize \quad F = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)
\end{displaymath}
将参数向量化即$\bm{x}^T = [x_1, x_2, \ldots, x_n]$
\begin{displaymath}
  minimize \quad F = f(\bm{x}^T) \quad \textrm{for} \quad \bm{x} \in E^n
\end{displaymath}
$E^n$为n维欧式空间，当然有时问题需要求最大优化，此时也可将最大化问题转化为最小化问题
\begin{displaymath}
  max[f((\bm{x})] = - min[f(-(\bm{x})]
\end{displaymath}
\indent 在一些应用中，需要同时优化问题中的多个参数$x_i$，如下优化非线性联立方程：
\begin{displaymath}
  f_i((\bm{x}) = 0 \quad \textrm{for} \quad i = 1, 2, \ldots, m
\end{displaymath}
我们需要找到一组$x_i$使得$f_i(x)$同时减少到零
\begin{displaymath}
  F(\bm{x}) = [f_1((\bm{x}), f_2((\bm{x}), \ldots, f_m((\bm{x})]^T
\end{displaymath}
当然满足同时使$f_i(\bm{x})$减少到零的解$\bm{x}=\bm{x}^*$不存在，而是一个近似解。

\section{优化算法的一般结构}
$F = f(x)$优化算法的步骤：
\begin{enumerate}
  \item 初始化$k = 0$和$\bm{x_0}$，计算$F_0=f(\bm{x_0})$
  \item $k = k+1$，给定一个变化向量$\Delta \bm{x_k}^T=[\Delta x_0, \ldots, \Delta x_n]$，计算$\bm{x_k} = \bm{x_{k-1}} + \Delta \bm{x_k}$，计算$F_k = f(\bm{x_k})$以及$\Delta F_k = F_{k-1}-F_k$
  \item 如果收敛则进入第四步，否则，继续第二步
  \item 输出$\bm{x^*} = \bm{x_k}$以及$F^* = f(\bm{x^*})$，结束
\end{enumerate}
最终得到的向量$\bm{x}^*$为目标函数的最优解，$F^*$为目标函数的最优值。
\begin{displaymath}
  |\Delta F_k| = |F_{k-1}-F_k| \leq \varepsilon _F
\end{displaymath}
当结果满足最优容忍值，我们认为此时问题的解为最优解。

\section{约束条件}
相声中郭德纲总是拿于谦开玩笑，说到于谦穷的时候一分钱掰成8份用，这也就是一个约束条件，当生活拮据，我们需要使用固定的金钱去发挥最大的功效，这时我们更多购买单品的性价比比较高，而不会是美观。\\
\indent 在优化问题中，我们的参数会被很多条件约束。

\section{可行域}
任何满足相等性和不等式约束的点x都被认为是优化问题的可行点。满足约束的所有点的集合构成$f(\bm{x})$的可行域区域，也是约束条件的子集。

\newpage
\begin{thebibliography}{99}
  \bibitem{b} Andreas A, Wu-Sheng L. Practical Optimization Algorithms and Engineering Applications (2007)
\end{thebibliography}

\end{document}
